Convexity

지구는 둥글다. 하지만 지구가 둥글다는 것은 우주에 나가봐야 알 수 있고 일상을 살고 있는 사람들에게 땅은 그저 평평하기만 하다. 가까이서는 직선이지만 멀리서보면 둥근 지구처럼 금리와 채권 가격의 관계도 가까이서 볼 때와 멀리서 볼 때가 다르다.

금리가 아주 조금 변할 때에는 금리와 가격의 관계는 거의 선형이다. 금리가 4.51%에서 4.54%로 3bp변할 때 채권 가격의 변화는 듀레이션으로 추정할 수 있다. 하지만 4.51%에서 5.51%로 변할 때는 듀레이션만으로는 채권 가격의 변화를 정확히 분석해낼 수가 없다. 왜냐하면 금리과 채권 가격의 관계는 비선형이고 원점을 향해 볼록하기 때문이다. 채권 매니저가 Convexity를 알아야 하는 이유는 바로 이것 때문이다.

Convexity계산은 단말기에서 다 해주지만 그래도 어떻게 계산하는지는 간단히 알아보자. 채권가격 변화의 추정은 Duration과 Convexity로 거의 대부분이 설명되고 error term이 뒤에 따라온다. 엑셀로 계산하는 방법은 아래 첨부 파일을 참고하면 된다. 예일대 Fabozzi 교수의 책의 사례를 엑셀로 직접 구해본 것이다.

Convexity.xlsx

문제는 산출된 값을 어떻게 해석할 것인가에 있다. Modified duration이 3년일때 금리가 10bp 내리면 100억 채권 가지고 있으면 3천만원 번다. 이런 느낌이 Convexity에서는 잘 오지 않는다.
 
Convexity는 다음과 같다. "변화된 금리의 제곱에 Convexity를 곱한 값의 반"이 Convexity로 인한 채권 가격의 변화율이다. 예를 들어 Convexity가 20일때 금리가 10bp 변했다면 1/2*(20)*(10/10000)^2 = 0.001%, 100억*0.001%=10만원 이런식으로 채권 가격의 변화를 추정하는 것이다.

정리하면 아래와 같다.
(1) Modified duration이 설명하는 채권의 percentage 변화: (-Modified duration)*(Yield Change)
(2) Convexity가 설명하는 채권의 percentage 변화: 1/2*(Convexity)*(Yield Change)^2 

보면 알겠지만 Convexity로 인한 채권가격의 변화를 추정할 때 산식을 보면 변화된 금리의 제곱이 곱해진다. 5bp, 10bp 변화라면 만분의 5, 만분의 10의 제곱을 의미하는데 거의 0에 가까워질 수 밖에 없다. 그래서 실무에서는 거의 Convexity를 고려하지 않는 것이다. 금리가 1%, 2%씩 변하지는 않으니까... 잠깐, Convexity는 만기가 길수록, Coupon rate이 작을수록 크다는 사실 정도만 더 알고 넘어가자.