Par rate, Spot rate, Zero Coupon rate and Forward rate - 2

다음의 데이타를 가지고 Bootstrapping을 공부해 보자. 

* 표1: 아래 숫자들은 2002년 스텔라 CFA Level I 에서 가지고 온 것이다. (Treasury bills and notes)

Maturity	Coupon(%)	Price	YTM(%)	Periodic Coupon  Cashflow
0.5	-	98.04	4.0	-
1.0	-	95.74	4.4	-
1.5	5.0	100.00	5.0	2.50
2.0	5.2	100.00	5.2	2.60

Par rate과 Spot rate을 설명하면서 언급하였듯이 Bootstrapping은 Par rate에서 Spot rate을 추출하는 과정이다. 왜 추출하는가? Spot rate은 만기까지 이자 지급이 없는 할인채의 금리로서 채권 가격의 정확한 valutaion을 위해서 사용되는 금리라고 앞서 설명하였다. 부연 설명하자면 10년 이후의 cashflow를 10년 국고채의 금리로 할인하는게 아니라 10년 spot rate으로 할인해야지 더 정확하기 때문에 Bootstrapping을 하여 spot rate을 구한다고 이해하면 된다.

위의 표에서 보면 만기 6개월짜리와 1년짜리 Treasury는 중간에 이자 지급이 없기 떄문에 사실상 zero coupon bond와 동일하다. 따라서 6개월, 1년 spot rate은 6개월, 1년 국채금리와 같다. 그런데 1.5년짜리 Treasury는 중간에 이자 지급이 되는데 1.5년짜리 spot rate을 x로 놓고 채권 가격 구하는 공식을 써 보면 아래와 같다.

*산식1

우리가 알고 있는 채권 가격의 산식은 할인율이 ytm으로 단일하지만 여기서서 보는 산식은 각각의 tenor의 spot rate에 해당하는 금리가 할인율이 되는 것이다. X를 구해보면 2.51%가 나오는데 2를 곱해주면 우리가 구하려고 하는 1.5년 tenor의 spot rate이 나온다. 5.02%가 정답. 자, 이제 1.5년짜리 구멍에 신발 끈을 매었으니 다음은 2.0년 구멍에 신발 끈을 넣을 수 있다. 다른 말로하면 1.5년 spot rate을 구하지 않으면 2년 spot rate도 구할수 없다는 것이다. 이러한 작업이 신발끈을 묶는것과 비슷하다고 하여 Bootstrapping이라고 이름을 붙인 것이다. 이해들 하셨는가?

*산식2

2년짜리 Treasury는 5.2% 쿠폰을 주니까 분자의 쿠폰이 5.0에서 5.2로 바뀌었다. 1.5년 spot rate이 5.02%이니까 3번째 쿠폰 할인은 5.02%/2로 할인하고, 2년 tenor의 spot rate을 X로 놓고 답을 구해보자. 2.61%가 나오게 되고 1년 기준으로 바꾸어야 하니까 2를 곱해서 5.22%를 2년 spot rate으로 구할 수 있다. 결과를 정리하면 아래표와 같다.

*표2

Maturity	YTM(%)	Spot rate(%)
0.5	4.00	4.00
1.0	4.40	4.40
1.5	5.00	5.02
2.0	5.20	5.22

정상적인 우상향 커브 상황에서는 spot rate이 ytm보다 큰 것이 일반적이다. 뒤에서 또 배우겠지만, 이렇게 커브가 positively sloped 되어 있는 경우에는 forward rated 또한 spot rate보다 크다는 것도 알고 넘어가자.

이제 par rate과 spot rate의 개념도 알았고 bootstrapping도 배웠으니 다음은 forward rate에 대해서 알아보자.